Mathematica と 2013-12-20-wheezy-raspbian (2013/12/26)

Raspberry Pi 専用の Linux ディストリビューション である Raspbian の新イメージ 2013-12-20-wheezy-raspbian が 2013/12/24 に 公開されました。 例によって Raspbian の新イメージ(2013-12-20-wheezy-raspbian) をインストールしてみます。

今回は Linux カーネルのバージョンが 3.6.11+ から 3.10.24+ に上がっています。 また数式処理ソフトの Wolfram Mathematica が含まれるようになりました。昔、仕事でMacintoshII 上で Mathematica を使ったことがありますが、マシンと合わせて200万円近かった気がします。4000円ほどのRaspberry Pi上で無料で Mathematica 使えるようになってしまいました。Linux上ではオープンソースの数式処理ソフトのMaximaが使えるので、すでに数式処理ソフトにお金をかけなくてもよくなっていますが。

2013-12-20-wheezy-raspbian のインストール

すでにRaspberry Pi で Raspbian を使っていれば、次のコマンドでも新イメージと同じ環境がインストールできるはずです。 しかし、ここでは別のSDカードに 2013-09-25-wheezy-raspbian をインストールすることにします。以下の作業を行った SD カードはデータがすべて初期化されるので、新しいカードやデータが不要なSDカードを使って下さい。

sudo apt-get update
sudo apt-get upgrade

MacBook Pro17 の MacOSX 10.8.5 でインストール作業した記録です。 MacOS X ではデバイス名の指定方法が異なるだけで、Linuxと同じく dd コマンドを使ってSDカードに ディスクイメージを書き込みます。まずは SDカードのデバイス名を調べます。以下の例は、私のMacBookでの例です。適宜読み替えてください。

dd コマンドのデバイスの指定を間違えると最悪ハードディスクがすべて消えるなどの悲惨な結果が待っています。十分に注意して行なってください。

$ uname -rsv
Darwin 13.0.0 Darwin Kernel Version 13.0.0: Thu Sep 19 22:22:27 PDT 2013;
 root:xnu-2422.1.72~6/RELEASE_X86_64

「sudo apt-get update && apt-get upgrade」でもほとんどの機能がインストールされるようですが、安全に別のSDカードに 2013-12-20-wheezy-raspbian をインストールしました。 ダウンロードしたディスクイメージは以下のサイズです。

$ ls -lt 2013-12-20-wheezy-raspbian.zip
-rw-r--r--@ 1 jun  staff  821753441 12 24 20:51 2013-12-20-wheezy-raspbian.zip

イメージのハッシュ(SHA-1 Checksum)が公式サイトにある ade48c874f8e4b694175de4c87d7357960961fbf であることを確認しました。

$ shasum 2013-12-20-wheezy-raspbian.zip
ade48c874f8e4b694175de4c87d7357960961fbf  2013-12-20-wheezy-raspbian.zip

いつものようにMacBook Pro17 にUSB接続のmicroSDカードリーダを接続して、SDカードをアンマウントします。 今回は Mac にFUSE for OS Xをインストールしているため、Linuxのパーティションもマウントされています。両方をアンマウントしました。

$ df
略
/dev/disk1s2    30687672   3885144   25503368    14%    75625    882087    8%   /Volumes/Untitled
/dev/disk1s1      114576     37184      77392    33%      512         0  100%   /Volumes/boot

$ diskutil unmount /dev/disk1s1
Volume boot on disk1s1 unmounted
$ diskutil unmount /dev/disk1s2
Volume  on disk1s2 unmounted

古いイメージが入っていた 16GBのclass 10 microSDカード のパーティションレコードを一応初期化しました。

$ sudo fdisk -i /dev/disk1
Password:
fdisk: could not open MBR file /usr/standalone/i386/boot0: No such file or directory

    -----------------------------------------------------
    ------ ATTENTION - UPDATING MASTER BOOT RECORD ------
    -----------------------------------------------------

Do you wish to write new MBR and partition table? [n] y

パーティションを確認。

$ sudo fdisk /dev/disk1
Disk: /dev/disk1    geometry: 1947/255/63 [31291392 sectors]
Signature: 0xAA55
         Starting       Ending
 #: id  cyl  hd sec -  cyl  hd sec [     start -       size]
------------------------------------------------------------------------
*1: AB    0   1   1 - 1023 254  63 [        63 -      16384] Darwin Boot 
 2: AF 1023 254  63 - 1023 254  63 [     16447 -   31274945] HFS+        
 3: 00    0   0   0 -    0   0   0 [         0 -          0] unused      
 4: 00    0   0   0 -    0   0   0 [         0 -          0] unused

zipファイルを展開します。

$ unzip 2013-12-20-wheezy-raspbian.zip
Archive:  2013-12-20-wheezy-raspbian.zip
  inflating: 2013-12-20-wheezy-raspbian.img  

$ ls -lt 2013-12-20-wheezy-raspbian*
-rw-r--r--@ 1 jun  staff   821753441 12 24 20:51 2013-12-20-wheezy-raspbian.zip
-rw-r--r--@ 1 jun  staff  2962227200 12 21 06:16 2013-12-20-wheezy-raspbian.img

SDカードに書き込みます。

$ sudo time dd bs=1m if=2013-12-20-wheezy-raspbian.img of=/dev/rdisk1
2825+0 records in
2825+0 records out
2962227200 bytes transferred in 152.449187 secs (19430915 bytes/sec)
      152.60 real         0.00 user         1.89 sys

ブート領域のファイルを確認します。

$ cd /Volumes/boot
$ ls -lt
total 38128
-rwxrwxrwx  1 jun  staff      137 12 20 21:09 issue.txt
-rwxrwxrwx  1 jun  staff      142 12 20 20:08 cmdline.txt
-rwxrwxrwx  1 jun  staff     1180 12 20 20:08 config.txt
-rwxrwxrwx  1 jun  staff    17824 12 20 11:05 bootcode.bin
-rwxrwxrwx  1 jun  staff     5778 12 20 11:05 fixup.dat
-rwxrwxrwx  1 jun  staff     2062 12 20 11:05 fixup_cd.dat
-rwxrwxrwx  1 jun  staff     8811 12 20 11:05 fixup_x.dat
-rwxrwxrwx  1 jun  staff  3113896 12 20 11:05 kernel.img
-rwxrwxrwx  1 jun  staff  9791576 12 20 11:05 kernel_emergency.img
-rwxrwxrwx  1 jun  staff  2513844 12 20 11:05 start.elf
-rwxrwxrwx  1 jun  staff   480056 12 20 11:05 start_cd.elf
-rwxrwxrwx  1 jun  staff  3492228 12 20 11:05 start_x.elf
-rwxrwxrwx  1 jun  staff    18974  9 25 21:57 LICENSE.oracle

/boot/config.txt を確認してみます。バージョンアップでも特に変更されていません。

$ cat -n config.txt
     1  # uncomment if you get no picture on HDMI for a default "safe" mode
     2  #hdmi_safe=1
     3  
     4  # uncomment this if your display has a black border of unused pixels visible
     5  # and your display can output without overscan
     6  #disable_overscan=1
     7  
     8  # uncomment the following to adjust overscan. Use positive numbers if console
     9  # goes off screen, and negative if there is too much border
    10  #overscan_left=16
    11  #overscan_right=16
    12  #overscan_top=16
    13  #overscan_bottom=16
    14  
    15  # uncomment to force a console size. By default it will be display's size minus
    16  # overscan.
    17  #framebuffer_width=1280
    18  #framebuffer_height=720
    19  
    20  # uncomment if hdmi display is not detected and composite is being output
    21  #hdmi_force_hotplug=1
    22  
    23  # uncomment to force a specific HDMI mode (this will force VGA)
    24  #hdmi_group=1
    25  #hdmi_mode=1
    26  
    27  # uncomment to force a HDMI mode rather than DVI. This can make audio work in
    28  # DMT (computer monitor) modes
    29  #hdmi_drive=2
    30  
    31  # uncomment to increase signal to HDMI, if you have interference, blanking, or
    32  # no display
    33  #config_hdmi_boost=4
    34  
    35  # uncomment for composite PAL
    36  #sdtv_mode=2
    37  
    38  #uncomment to overclock the arm. 700 MHz is the default.
    39  #arm_freq=800
    40  
    41  # for more options see http://elinux.org/RPi_config.txt

SDカードをアンマウントして取り出します。

$ df
略
/dev/disk1s1      114576     38192      76384    34%      512         0  100%   /Volumes/boot
/dev/disk1s2     5573760   4267168    1023456    81%    78594     98462   44%   /Volumes/Untitled

$ diskutil unmount /dev/disk1s1
Volume boot on disk1s1 unmounted
$ diskutil unmount /dev/disk1s2
Volume  on disk1s2 unmounted

新しいイメージで起動

インストールしたSDカードをRaspberry Piにセットして起動。 最初の起動時に設定画面が表示されますが、前のバージョンから変わっていないので、前回の 2013-09-25-wheezy-raspbian の設定画面の解説を参考にして下さい。


Mathematica

今回のRaspbianイメージに最初から含まれるようになった Wolfram Mathematica は数式処理を行うアプリケーションです。 コンピュータは数値計算はべらぼうに速いですが、因数分解や展開といった式の変形はしてくれません。 MathematicaMaxima はこの数式処理に使うソフトウェアです。

使い方はMathematica数値数式プログラミングといった書籍もありますが、 Mathematica のサイトで日本語の解説が読めます。 Maxima については はじめてのMaximaといった書籍か、無料で読めるものにはMaxima 入門ノート 1.2.1 があります。 Maxima 入門ノート に 165ページにわたって分かり易く詳細に書かれています。また、付録Aに Mathematica と Maxima の対比表があります。

Mathematica の起動

Mathematica はRaspberry Piのデスクトップの左上にアイコンが表示されていて、クリックすると起動します。 グラフも表示できるウィンドウが開いて GUI で操作できますが、ここではリモートからも SSH 越しに操作できるようにコンソールで使う方法を紹介します。

$ /opt/Wolfram/WolframEngine/10.0/Executables/math
Wolfram Language (Raspberry Pi Pilot Release)
Copyright 1988-2013 Wolfram Research
Information & help: wolfram.com/raspi

In[1]:=

/opt/Wolfram/WolframEngine/10.0/Executables ディレクトリにある math コマンドを実行すると、コンソールから式を入力できるようになります。「In[1]:=」のあとに式を入力すると、対応する番号の 「Out[1]=」に結果が表示されます。

数式の展開と因数分解

展開は Expand[式] と 因数分解は Factor[式] で簡単に求めることができます。 宿題では使わないように。

In[1]:= Expand[ (x + a)(x + b) ] 

                           2
Out[1]= a b + a x + b x + x

In[2]:= Factor[Out[1]]

Out[2]= (a + x) (b + x)

In[3]:= Expand[ (a - b)^3 ]                                 

         3      2          2    3
Out[3]= a  - 3 a  b + 3 a b  - b

In[4]:= Factor[ a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3 ]

               3
Out[4]= (a - b)

行列の演算

前に3次元コンピュータグラフィックスで必要となる行列計算について解説しましたが、その中で行列の乗算について下の式を紹介しました。

実はこの式は Maxima で計算したものを加工しています。こういった面倒な計算は数式処理ソフトにやってもらうのが楽です。下の実行例では a0 といった下付きの添え字を付加するのに Subscript を使っているのでちょっと複雑に見えますが、行列を上の行から順次中括弧に入れて並べているだけです。

In[1]:= mata = {{Subscript[a,0],Subscript[a,4],Subscript[a,8],Subscript[a,12]},
        {Subscript[a,1],Subscript[a,5],Subscript[a,9],Subscript[a,13]},
        {Subscript[a,2],Subscript[a,6],Subscript[a,10],Subscript[a,14]},
        {Subscript[a,3],Subscript[a,7],Subscript[a,11],Subscript[a,15]}}

Out[1]= {{a , a , a , a  }, {a , a , a , a  }, {a , a , a  , a  }, 
           0   4   8   12     1   5   9   13     2   6   10   14
 
>    {a , a , a  , a  }}
       3   7   11   15

In[2]:= matb = {{Subscript[b,0],Subscript[b,4],Subscript[b,8],Subscript[b,12]},
        {Subscript[b,1],Subscript[b,5],Subscript[b,9],Subscript[b,13]},
        {Subscript[b,2],Subscript[b,6],Subscript[b,10],Subscript[b,14]},
        {Subscript[b,3],Subscript[b,7],Subscript[b,11],Subscript[b,15]}}

Out[2]= {{b , b , b , b  }, {b , b , b , b  }, {b , b , b  , b  }, 
           0   4   8   12     1   5   9   13     2   6   10   14
 
>    {b , b , b  , b  }}
       3   7   11   15   

これで mata と matb という変数にそれぞれ要素が a0 から a15b0 から b15 の 4行4列の行列を設定しています。 この行列の乗算はこれで mata と matb の間にピリオドを置けば計算されます。

In[3]:= mata . matb
                                                      
Out[3]= {{a  b  + a  b  + a  b  + a   b , a  b  + a  b  + a  b  + a   b , 
           0  0    4  1    8  2    12  3   0  4    4  5    8  6    12  7
 
>     a  b  + a  b  + a  b   + a   b  , a  b   + a  b   + a  b   + a   b  }, 
       0  8    4  9    8  10    12  11   0  12    4  13    8  14    12  15
 
>    {a  b  + a  b  + a  b  + a   b , a  b  + a  b  + a  b  + a   b , 
       1  0    5  1    9  2    13  3   1  4    5  5    9  6    13  7
 
>     a  b  + a  b  + a  b   + a   b  , a  b   + a  b   + a  b   + a   b  }, 
       1  8    5  9    9  10    13  11   1  12    5  13    9  14    13  15
 
>    {a  b  + a  b  + a   b  + a   b , a  b  + a  b  + a   b  + a   b , 
       2  0    6  1    10  2    14  3   2  4    6  5    10  6    14  7
 
>     a  b  + a  b  + a   b   + a   b  , a  b   + a  b   + a   b   + a   b  }, 
       2  8    6  9    10  10    14  11   2  12    6  13    10  14    14  15
 
>    {a  b  + a  b  + a   b  + a   b , a  b  + a  b  + a   b  + a   b , 
       3  0    7  1    11  2    15  3   3  4    7  5    11  6    15  7
 
>     a  b  + a  b  + a   b   + a   b  , a  b   + a  b   + a   b   + a   b  }}
       3  8    7  9    11  10    15  11   3  12    7  13    11  14    15  15

In[4]:=

CPUがいまいち非力なRaspberry Piでも一瞬で計算できます。上の図中のm0 から m15 と一致していることが確認できます。

回転行列

X軸回りに角度 x で回転させる 4x4行列に rotx という名前をつけます。

In[1]:= rotx = {{1,0,0,0},{0,cos[x],-sin[x],0},{0,sin[x],cos[x],0},{0,0,0,1}}

Out[1]= {{1, 0, 0, 0}, {0, cos[x], -sin[x], 0}, {0, sin[x], cos[x], 0}, 
 
>    {0, 0, 0, 1}}

また、角度 y でY軸回りに回転させる行列に roty という名前をつけます。

In[2]:= roty = {{cos[y],0,sin[y],0},{0,1,0,0},{-sin[y],0,cos[y],0},{0,0,0,1}}

Out[2]= {{cos[y], 0, sin[y], 0}, {0, 1, 0, 0}, {-sin[y], 0, cos[y], 0}, 
 
>    {0, 0, 0, 1}}

同様に、角度 z でZ軸回りに回転させる行列は次のようになります。

In[3]:= rotz = {{cos[z], -sin[z],0,0},{sin[z],cos[z],0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}

Out[3]= {{cos[z], -sin[z], 0, 0}, {sin[z], cos[z], 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, 
 
>    {0, 0, 0, 1}}

例えば、頂点をY軸周りに回転させた後、X軸周りに回転させる行列は roty の左側から rotx を乗じた行列になります。OpenGLでは頂点座標は列ベクトルであらわすため、先に頂点を回転させる行列は、ベクトルに近い右側に置くことに注意して下さい。

In[4]:= rotx . roty

Out[4]= {{cos[y], 0, sin[y], 0}, {sin[x] sin[y], cos[x], -(cos[y] sin[x]), 0}, 
 
>    {-(cos[x] sin[y]), sin[x], cos[x] cos[y], 0}, {0, 0, 0, 1}}

4x4行列同士の乗算は 上で示したように複雑な計算が必要ですが、回転行列に限ると要素に0が多いため、このようにシンプルな結果となる事がわかります。さらにZ軸周りの回転も加えて、Z, Y, X の順に回転させる場合とZ, Y, X の順に回転させる場合も計算してみます。

In[5]:= rotx . roty . rotz

Out[5]= {{cos[y] cos[z], -(cos[y] sin[z]), sin[y], 0}, 
 
>    {cos[z] sin[x] sin[y] + cos[x] sin[z], 
 
>     cos[x] cos[z] - sin[x] sin[y] sin[z], -(cos[y] sin[x]), 0}, 
 
>    {-(cos[x] cos[z] sin[y]) + sin[x] sin[z], 
 
>     cos[z] sin[x] + cos[x] sin[y] sin[z], cos[x] cos[y], 0}, {0, 0, 0, 1}}

In[6]:= rotz . roty . rotx

Out[6]= {{cos[y] cos[z], cos[z] sin[x] sin[y] - cos[x] sin[z], 
 
>     cos[x] cos[z] sin[y] + sin[x] sin[z], 0}, 
 
>    {cos[y] sin[z], cos[x] cos[z] + sin[x] sin[y] sin[z], 
 
>     -(cos[z] sin[x]) + cos[x] sin[y] sin[z], 0}, 
 
>    {-sin[y], cos[y] sin[x], cos[x] cos[y], 0}, {0, 0, 0, 1}}

行列は掛け算する順序で結果が異なることが実際に確認できます。こういった計算を実際に紙と鉛筆で計算するのは面倒な上、結果が正しいかどうかに自信が持てないものです。微積分や統計などだけではなく上記のような簡単だけれども面倒な計算にも十分役に立ちます。 高校生諸君、くれぐれも宿題には使わないように!



続く...